01 电，磁与场

电与磁的力

在很早很早以前，科学家们就发现了超距作用现象，他们观察到即使两个物体不接触，也会产生力的相互作用，引力是其中一种，但还有一种力，它与引力极其相似，也是与距离的平方成反比，与本身携带的“量”成正比。这种力就是电力。

我知道各位都看过什么是库仑定律，但当电荷运动的时候，库伦定律是不准确的。为了准确计算一个电荷在电场和磁场中受到的力，我们找到了一个普遍性的公式

$$F = q(E+v\times B)$$

这里的$E$就是电场，$B$就是磁场。我知道我们还没有引入场的概念，但先别急。

电场与磁场有一个很重要的原理，叫做叠加原理。如果我们已知一个电荷产生的场$E_1$，和另一个电荷的场$E_2$，如果保持这两个电荷位置，电荷量都不变，那么总和的场就是它们的和(summation)。

$$E = E_1+E_2$$

电与磁的场

如果我们把电荷放在一个电场里面，我们知道它肯定会受到力，当我们移开电荷之后，场仍然在那里，在空间中存在某种东西，能够对电荷产生影响。

我们暂且考虑三维空间，也就是说，电场和磁场可以是在直角坐标系下的空间的函数。

$$\begin{cases} E = E(x,y,z)\\ B = B(x,y,z) \end{cases}$$

如果把时间考虑进去，也就是说场随着时间而变化，那电磁场就是三维空间和时间的四维函数。

$$\begin{cases} E = E(x,y,z,t)\\ B = B(x,y,z,t) \end{cases}$$

注意，这两个函数都应该是矢量函数，即函数最终的值是有大小和方向的。

与之对应的，有以空间和时间为变量的标量函数，例如温度场$T(x,y,z,t)$就是一个标量四维函数，因为温度只有大小，没有方向。

矢量场的两个重要概念

通量

我们把单位时间流经一个面的净流体量称为通过该面的“速度通量”。

我们知道矢量的方向和面的朝向不一定是相同的，所以为了计算流过该面的净流体量，我们应该算适量垂直于该面的分量，这才是净流通量。

对于任何一个闭合面，净流出量(通量)等于速度向外的法向分量的平均值乘以该闭合曲面的面积

$$通量 = (平均法向分量)\cdot (曲面的面积)$$

环流

我们把绕任一想象中的闭合曲线的环流定义为矢量在环路上的平均切向分量乘以该环路的周长。

$$环流 = (平均切向分量)\cdot (绕行距离)$$

电磁学定律

总的来说，我们发现了四条电磁学的定律，第一条是这样的

$$E通过任意闭合曲面的通量 = \frac{曲面内的净电荷}{\epsilon_0}$$

其中$\epsilon_0$是一个常数。

第二条是关于电场环流和磁场的，假设曲面S的边界C

$$E绕C的环流 = \frac{d}{dt}(通过S的B的通量)$$

第三条是有关磁场的

$$B通过任何闭曲面的通量=0$$

第四条是关于磁场的环流的，假设曲面S以C为边界

$$c^2(B绕C的环流) = \frac{d}{dt}(通过S的E的通量)+\frac{通过S的电流通量}{\epsilon_0}$$

$c^2$就是光速的平方。这四条定律实际上就是大名鼎鼎的麦克斯韦方程的简化口头描述版本。

接下来，我们将补齐场的知识。

矢量场的微分

矢量的基本运算规则

以下运算规则应该是基本的，且牢记于心的，这里仅考虑三维空间

1. 点乘

$$A\cdot B = A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$$

2. 叉乘

$$A\times B = \begin{vmatrix} i & j & k\\ A_x & A_y & A_z \\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}$$

3. 自己与自己叉乘为0

$$A\times A=0$$

4. 叉乘后再点乘为0

$$A\cdot (A\times B) = 0$$

5. 点乘叉乘交换律

$$A\cdot(B\times C) = (A\times B)\cdot C$$

6. 叉乘化点乘

$$A\times (B\times C) = B(A\cdot C)-C(A\cdot B)$$

多元函数的微分

定义函数$f(x,y,z)$的微分

$$\Delta f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z$$

对于连续可导的函数f，它的二阶偏微分是

$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$$

注意此处$\Delta x$应该是趋于$dx$的。

流量h

为了方便定义h，考虑一个材料中的热流，我们把材料一面加热到较高的温度，另一面不动，就会产生从高温到低温的热流。这个热流就是一个有方向的量，写为h，它的大小是有多少热量在流动的量度。

准确来说，是热流矢量在一点的大小就是在单位时间内通过垂直于流动方向的无限小面积元上单位面积的热能。现在我们用符号写出来，则单位时间内通过面积元$\Delta a$的热量为$\Delta J$，有

$$h = \frac{\Delta J}{\Delta a}e_f$$

其中$e_f$是沿流动方向的单位矢量。

如果面积元的朝向和h的方向不一致，则应该考虑垂直于面积元的分量，这时候流过去的热流应该是$\Delta J\cos \theta$，则热流就是

$$\begin{aligned} \frac{\Delta J}{\Delta a}\cos \theta &= h\cos \theta \\ &=h\cdot 1\cdot \cos \theta \\ &=h\cdot n \end{aligned}$$

需要注意到的是矢量n是面积元的单位法向量，且矢量点乘中有一个运算就是$A\cdot B = AB\cos \theta$

梯度

现在回顾多元函数的微分

$$\Delta f(x,y,z) = \frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}\Delta z$$

不难发现，这其实是两个向量的点积

$$(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\cdot (\Delta x,\Delta y,\Delta z)$$

我们把左边的向量定义为场f的梯度，写做

$$\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})$$

所以微分可以写成更简洁的形式

$$\Delta f = \nabla f\cdot \Delta R$$

也就是说，场里相邻两个点之间的差是场的梯度与两点间位移矢量的点积。

这里也给出梯度的物理意义：它代表着场最急剧上升的方向。

矢量运算符及其导出运算

现在，我们再剥离梯度的运算，把梯度运算看作数乘

$$\begin{aligned} \nabla f &= (\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}) \\ &=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})f \end{aligned}$$

就像矢量数乘一样，f会乘到每一个分量，而左边我们得到了一个以算符形式存在的矢量。

现在我们将其组合，对于矢量来说，不仅有数乘，还可以点乘和叉乘。

不难得到点乘的结果

$$\nabla \cdot h = \frac{\partial h_x}{\partial x}+\frac{\partial h_y}{\partial y}+\frac{\partial h_z}{\partial z}$$

我们把这个运算称为h的散度。

当然，也有叉乘的结果。

$$\nabla \times h= \begin{vmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ h_x & h_y & h_z \end{vmatrix}$$

叉乘的这个结果我们称为h的旋度。

这样我们其实可以给出麦克斯韦方程的完整微分形式

$$\begin{aligned} &\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\epsilon_0} \\ &\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t} \\ &\nabla\cdot B = 0\\ &c^2\nabla \times B = \frac{\partial E}{\partial t}+\frac{j}{\epsilon_0} \end{aligned}$$

$\rho$是电荷密度，即单位体积的电量，j是电流密度，即每秒通过单位面积的电荷流。