02-1：内积空间

矩阵论02-1：内积空间

1 内积空间的定义

定义：设V是数域F上的线性空间，x和y是其中的向量，则定义$(x, y)$是向量的内积运算，内积的运算结果为一属于数域F的数。且内积运算满足

1. $(x, y) = \overline{(y,x)}$
2. $(\lambda x, y) = \bar \lambda (x, y)$, $\lambda \in F$
3. $(x+y, z) = (x,z)+(y,z)$, $z\in V$
4. $(x, x)\geq 0$, 仅当$x=\theta$等于0

定义了内积运算的空间为内积空间，如果是实数域上的空间，定义后就称为欧式空间，如果是复数域上的空间，则定义后称为酉空间。

标准内积

1. 在欧式空间中，$(x,y) = x^Ty$
2. 在酉空间中，$(x,y) = x^Hy$

1.1 共轭转置

定义：给定一个在复数域的矩阵$A\in C^{m\times n}$，共轭转置就是把矩阵中每一个元素都进行共轭，并且矩阵进行转置，即$A^H = (\bar A)^T$
运算性质:

1. $\overline{(A+B)} = \bar A+\bar B$
2. $\overline{AB} = \bar A\bar B$
3. $A^H = \bar A^T = \overline{A^T}$
4. $(A+B)^H = A^H + B^H$
5. $(kA)^H = \bar k A^H$
6. $(AB)^H = B^HA^H$
7. $(A^H)^H = A$

定义Hermite矩阵：A是n阶复方阵，$A^H = A$，则A称为Hermite矩阵。
定义反Hermite矩阵：A是n阶复方阵，$A^H = -A$，则A称为反Hermite矩阵。

1.2 酉空间内积运算的性质

1. $(x,\lambda y) = \lambda(x, y)$, $x,y\in V$, $\lambda \in C$
2. $(x,y+z) = (x,y)+(x,z)$, $x,y,z\in V$
3. $(\sum\lambda_i x_i, \sum \mu_jj_j) = \sum\sum \bar \lambda_i \mu_j (x_i,y_i)$, $x,y\in V$, $\lambda,\mu \in C$

欧式空间的性质类似，单因为是实数，所以共轭运算就是实数本身。

2 内积在基下的矩阵

给出酉空间V的基$\epsilon_1,\dots \epsilon_n$，可以写出其中两个向量是

$$\begin{cases} x = x_1\epsilon_1 + \cdots +x_n\epsilon_n \\ y = y_1\epsilon_1 + \cdots+ y_n\epsilon_n \end{cases}$$

则内积运算根据酉空间内积运算的性质可以写成

$$\begin{aligned} (x ,y) &= (x_1\epsilon_1 +\cdots x_n\epsilon_n, y_1\epsilon_1 + \cdots+ y_n\epsilon_n)\\ &=\bar x_1y_1(\epsilon_1,\epsilon_1) + \cdots +\bar x_ny_n(\epsilon_n,\epsilon_n)\\ & = [x_1,\dots, x_n] \begin{bmatrix} (\epsilon_1,\epsilon_1) & \cdots & (\epsilon_1,\epsilon_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\epsilon_n,\epsilon_1) & \cdots & (\epsilon_n,\epsilon_n) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} \end{aligned}$$

其中矩阵$A=\begin{bmatrix} (\epsilon_1,\epsilon_1) & \cdots & (\epsilon_1,\epsilon_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\epsilon_n,\epsilon_1) & \cdots & (\epsilon_n,\epsilon_n) \end{bmatrix}$就称为内积在基$\epsilon_1,\dots \epsilon_n$下的度量矩阵。

度量矩阵也非常好求，元素$a_{ij} = (\epsilon_i, \epsilon_j)$。

有了度量矩阵，求内积可以使用公式

$$(x,y) = fAg$$

其中$f,g$是$x,y$在基下的坐标。这样把内积运算转换为矩阵的乘法运算，当然前提是知道在基下的坐标，以及需要求出度量矩阵。

2.1 内积在基下的矩阵的定理和推论

1. 酉空间中内积在基下的矩阵(度量矩阵)是正定的Hermite矩阵
2. 欧式空间中内积在基下的矩阵式正定的实对称矩阵
3. 内积在不同基下的度量矩阵是合同的，其中合同是指$P^HAP=B$，则A与B合同。