03：线性映射与线性变换

矩阵论03：线性映射与线性变换

1 线性映射的概念和性质

线性映射定义：设$V_1$, $V_2$是数域F上的两个线性空间，$T: V_1\rightarrow V_2$为$V_1$到$V_2$的映射，如果T满足

1. $\forall x,y\in V_1$，有$T(x+y) = T(x)+T(y)$
2. $\forall x\in V_1$, $\lambda \in F$，有$T(\lambda x) = \lambda T(x)$

那么T就是从$V_1$到$V_2$的线性映射。

1.1 补充定义

1. 值域：称$T(V_1) = R(T) = \{y|y=T(x),x\in V_1\}$为T的值域
2. 线性变换：若$V_1=V_2=V$，则称线性映射T为线性变换
3. 满射：若$T(V_1) = R(T)=V_2$，即映射的值域是$V_2$整个空间，则称T为满射

1.2 特殊映射

1. 如果$T_\theta$: $V_1\rightarrow V_2$, $\alpha\rightarrowtail\theta_{V_2}$, 其中$\alpha\in V_1$，那么映射称为零映射。即所有$V_1$的元素都映射到$V_2$中的零向量。

2. 如果$T_e$：$V\rightarrow V$, $\alpha\rightarrowtail \alpha$, 其中$\alpha\in V$，称这个映射是恒等变换

3. 称$-T$为$T$的负映射，其中$\forall x\in V_1$均有$(-T)x = -T(x)$

4. xoy面内，若向量$(x,y)$逆时针旋转$\theta$，得到$(x_1,y_1)$，那么将$(x,y)$映射到$(x_1,y_1)$的映射是$R^2$上的线性变换，称之为旋转变换，对应的坐标关系是

   $$(x_1,y_1)^T = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} (x,y)^T$$

5. $R^3$上将向量$(x,y,z)$映射成$(x,y,0)$的映射，称之为$R^3$向xoy面上的投影映射，是$R^3$上的线性变换，也叫投影变换

6. $R[x]_{n+1}$上将$f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$映射成$D[f(x)] = f'(x) = a_1+2a_2x+\cdots+na_nx^{n-1}$的映射，是$R[x]_{n+1}\rightarrow R[x]_n$的线性映射，也是$R[x]_{n+1}$上的线性变换，称作求导变换。

1.3 线性映射的一些性质

设$T$为$V_1$到$V_2$的线性映射

1. $T(\theta_{V_1}) = \theta_{V_2}$，即零向量映射后是另一个空间的零向量

2. $T(-\alpha) = -T(\alpha)$，映射中负号可以提出来

3. 对$x_i\in V_1$, $k_i\in F$，有

   $$T(\sum_{i=1}^s k_ix_i) = \sum_{i=1}^s k_iT(x_i)$$

4. 若$\alpha_1,\dots,\alpha_m$线性相关，则$T\alpha_1, \dots, T\alpha_m$也线性相关。

5. $\dim R(T)\leq \dim V_1$，值域的维数小于等于原空间的维数

6. $R(T)$是$V_2$的子空间

注意：若$x_1,\dots, x_m$线性无关，则$Tx_1, \dots, Tx_m$不一定线性无关。考虑零映射。作为特殊情况。

1.4 映射之间的关系

定义：设$T_1$, $T_2$都是$V_1$到$V_2$的线性映射

1. 若任意$x\in V$，均有$T_1(x) = T_2(x)$，则称线性映射$T_1$, $T_2$相等，记为$T_1=T_2$
2. 称$T(x) = \lambda T_1(x)+\mu T_2(x)$, $(\lambda, \mu \in F, \forall x\in V)$为线性映射$T_1,T_2$的线性组合。

定义：设$T_1$是$V_1$到$V_2$的线性映射，$T_2$是$V_2$到$V_3$的线性映射，令

$$T_2T_1: T_2T_1(x) = T_2(T_1(x))中$$

$\forall x\in V_1, T_1值域在T_2的定义域$，称$T_2T_1$为$T_1$与$T_2$的复合或者乘积。

记多次复合$T^2 = TT$, $T^m = TT^{m-1}$

定理：设$T_1$, $T_2$, $T_3$均为$V_1\rightarrow V_2$是线性映射，$T_\theta$和$-T$分别是零映射和负映射，$\lambda,\mu\in F$，有

1. $T_1+T_2 = T_2+T_1$
2. $(T_1+T_2)+T_3 = T_1+(T_2+T_3)$
3. $T_1+T_\theta=T_1$
4. $T_1+(-T_1)=T_\theta$
5. $k(T_1+T_2) = kT_1+kT_2$
6. $(k+l)T_1 = kT_1+lT_1$
7. $(kl)T_1 = k(lT_1)$
8. $1T_1 = T_1$

定理：设$T:V_1\rightarrow V_2$是线性映射，$W_1$, $W_2$是$V_1$的子空间，则

1. $T(W_1+W_2) = T(W_1)+T(W_2)$
2. $T(W_1\cap W_2) \sub T(W_1)\cap T(W_2)$ 注意是包含关系

2 线性映射下矩阵的刻画

定义：给定$T: V_{1n}\rightarrow V_{2m}$是线性映射，$\alpha_1,\dots,\alpha_n$是$V_{1n}$的基，$\beta_1,\dots,\beta_m$是$V_{2m}$的基。
那么线性变换$T[\alpha_1,\dots,\alpha_n] = [T\alpha_1,\dots,T\alpha_n]$可以写成

$$T[\alpha_1,\dots,\alpha_n] = [\beta_1,\dots,\beta_m]A$$

其中$A\in F^{m\times n}$是唯一的，这个矩阵称作基$\alpha_1,\dots,\alpha_n$与基$\beta_1,\dots,\beta_m$下的矩阵。

这个矩阵代表着映射到$V_{2m}$空间后的向量，由$V_{2m}$空间的基来表示的系数。

公式：如果向量$x$在$V_{1n}$空间中由$\alpha_1,\dots,\alpha_n$表示时的坐标是$(a_1,\dots,a_n)$，映射到$V_{2m}$后由$\beta_1,\dots,\beta_n$表示时的坐标是$(a_1',\dots,a_m')$，那么两个坐标的关系为

$$\begin{bmatrix} a_1' \\ \vdots\\ a_m' \end{bmatrix}= A \begin{bmatrix} a_1\\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix}$$

即

$$新坐标 = 线性映射矩阵\times 旧坐标$$

2.1 定理与推论

定理：设$T_1, T_2$均为$V_{1n}\rightarrow V_{2m}$的线性映射，$\alpha_1,\dots,\alpha_n$为$V_{1n}$的基，如果$T_1(\alpha_i) = T_2(\alpha_i)$，那么$T_1=T_2$。即对于基的映射相等，映射就相等。

定理：设$A\in F^{m\times n}$, $\forall x\in F^{n}$，映射$T: x\rightarrow Ax$为$F^n\rightarrow F^m$上的矩阵映射，则映射T在$F^n$和$F^m$的自然基底下的矩阵即为A。

3 线性映射的核与值域

定义：设$V_n, V_m$分别是实数域上的n维和m维线性空间，$T$是一个从$V_n$到$V_m$的线性映射，则称

1. 值域：$R(T) = T(V_{1n})=\{y|y=T(x), x\in V_{1n}\}\sub V_{2m}$
2. 核子空间：$N(T) = \{x|T(x)=\theta, x\in V_{1n}\}\sub V_{1n}$

如果线性映射发生在同一个空间中，即$V_n=V_m=V$, 有

1. $R(T) = T(V_{n})=\{y|y=T(x), x\in V_{n}\}\sub V_{n}$
2. $N(T) = \{x|T(x)=\theta, x\in V_{n}\}\sub V_{n}$

核子空间又记作$ker T$, ker是单词kernel的缩写。

2.2 定理与推论

定理：若$V_{1n}= L(x_1,x_2,\dots,x_n)$，则

$$R(T) = T(V_{1n}) = L(T(x_1), T(x_2),\dots,T(x_n))$$

即对于生成空间的映射是那些基向量被映射后张成的空间。

定理：给出$T: V_{1n}\rightarrow V_{2m}$是线性映射，$\alpha_1,\dots,\alpha_n$是$V_{1n}$的基，$\beta_1,\dots,\beta_m$是$V_{2m}$的基，$T$在基$\alpha_i$和$\beta_j$下的矩阵是A，则$\dim R(T) = rank A$。值域的维数就是矩阵A的秩。

定理：给出$T:V_{1n}\rightarrow V_{2m}$是线性映射，则

$$\dim R(T)+\dim N(T) = n$$

4 线性变换

设$T$为$V_n(F)$上的线性变换，$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$与$\epsilon_1',\dots,\epsilon_n'$为空间的两组基，由于线性变换在同一个空间里面，那么矩阵刻画可以写作

$$T[\epsilon_1,\dots,\epsilon_n] = [\epsilon_1,\dots,\epsilon_n]A$$

A就是线性变换T在基$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$下的矩阵

或者，用另一组基

$$T[\epsilon_1,\dots,\epsilon_n] = [\epsilon_1',\dots,\epsilon_n']A'$$

A’就是线性变换T在基$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$和基$\epsilon_1',\dots,\epsilon_n'$下的矩阵。

4.1 定理与推论

定理：若T是V上的线性变换，$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$为V的一组基，则

1. A的第i列是$T(\epsilon_i)$在基$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$下的坐标。
2. 线性变换T在取定一组基下的矩阵是唯一的
3. 对$\forall x\in V_n$，x和T(x)的坐标分别是$x_i$和$y_i$，那么有

   $$\begin{bmatrix} y_1 \\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}= A\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$$

对于特殊的线性变换，有

1. 零变换在任意一组基下的矩阵都是零矩阵
2. 数乘变换在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵，其中数量矩阵是指

   $$\begin{bmatrix}k & & \\ & \ddots & \\& & k\end{bmatrix}$$

定理：设$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$为数域P上线性空间V的一组基，在这组基下，V的每一个线性变换都与$F^{n\times n}$中的唯一一个矩阵对应，那么可以给出以下性质

1. 线性变换的和是矩阵的和：$(T_1+T_2)[\epsilon_1,\dots,\epsilon_n] = [\epsilon_1,\dots,\epsilon_n](A+B)$
2. 线性变换的乘积是矩阵的乘积：$(T_1T_2)[\epsilon_1,\dots,\epsilon_n] = [\epsilon_1,\dots,\epsilon_n](AB)$
3. 线性变换的数乘是矩阵的数乘：$(kT_1)[\epsilon_1,\dots,\epsilon_n] = [\epsilon_1,\dots,\epsilon_n](kA)$

4.2 线性变换的逆

定义：给出T是线性空间$V_n$上的线性变换，若存在一个变换$T'$，使得$TT'=T'T=T_e$，那么T就是可逆线性变换，$T'$是T的逆变换，记作$T^{-1}$。

可逆线性变换的逆变换$T^{-1}$也是可逆的，二者互为逆变换

定理：在线性空间V中的线性变换T在基$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$下的矩阵为A，则T可逆的充要条件是A可逆。且$T^{-1}$在基下的矩阵是$A^{-1}$。

定理：设线性空间V的线性变换T在两组基$\epsilon_1,\dots,\epsilon_n$和$\epsilon_1',\dots,\epsilon_n'$下的矩阵分别是A和B，从基$\epsilon$到基$\epsilon'$的过渡矩阵是P，那么

$$B = P^{-1}AP$$

这告诉我们线性变换在不同基下的矩阵是相似的。反过来，如果两个矩阵相似，那么这两个矩阵可以看作同一线性变换在两组基下的矩阵。

定义：设$T$是$V_n(F)$上的线性变换，定义

1. $Im(T) = R(T)=\{T(\alpha)|\forall \alpha\in V\}$
2. $Ker(T) = N(T) = \{\alpha\in V|T(\alpha)=\theta \}$

其中

1. $Im(V)$是线性变换T的值域
2. $Ker(T)$是线性变换的核
3. $Im(T)$的维数称为T的秩
4. $Ker(T)$的维数称为T的零度

$Im(T)$和$Ker(T)$都是$V_n$的子空间，且$\dim Im(T) +\dim Ker(T) = n$

5 酉（正交）变换与正交投影

定义：设T是酉（欧式）空间V的线性变换，如果对任意的$x,y\in V$，均有

$$(T(x),T(y)) = (x,y)$$

也就是内积在线性变换下保持不变，则称T是酉(欧式)空间V的一个酉（正交变换）。

定理：给定矩阵$A$是酉(正交)矩阵，对于变换$T(x) = Ax$, $x\in C^n(R^n)$为$C^n(R^n)$上的酉(正交)变换。

两个特殊的酉(正交变换)：

1. $T(x) = Ax$, where

   $$A = \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin\theta \\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$

   是平面上的旋转变换。

2. $H(x) = (E_n-2uu^H)x$, $\forall x\in C^n$, $u\in C^n$, $u^Hu=1$, 叫做豪斯何尔德镜像变换。