附件1：Jacobi变换更换随机变量

Jacobi变换更换随机变量

1 变量替换公式（Change of Variable Formula）

令$X$是一个连续的随机变量，PDF为$f_X$，假设区间$I\in R$使得当$x\notin I$时$f_X(x)=0$。让函数$g$是$I\rightarrow R$的映射，其可微且有反函数$h=g^{-1}$，且$g$的导数在区间$I$中要么总是正的要么总是负的，也可以有有限个零点。如果我们令$Y=g(X)$，那么

$$f_Y(y)=f_X(h(y))\cdot |h'(y)|$$

考虑一个随机变量$X$，PDF为

$$f_X(x)=\begin{cases}1/2\quad x\in[0,2] \\0\quad otherwise\end{cases}$$

变换$g(X)=X^2$

检查前置条件

1. 区间是$[0,2]$，不在区间时PDF为0
2. $g'(x)=2x$，除了$x=0$外都是正的
3. 反函数$h(y)=\sqrt{y}$，由于区间是正的，所以开根号不考虑负数，是一对一映射
4. $h'(y)=\frac{1}{2}y^{-1/2}$

由变量替换公式，$f_X(h(y))$中$h(y)$满足$0\leq h(y)\leq 2$，即$0\leq \sqrt{y}\leq 2$，得到$0\leq y\leq 4$，得到

$$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{4\sqrt{y}}\quad y\in [0,4]\\0\quad otherwise\end{cases}$$

当遇到非一对一映射，反函数有多个时，我们将其全部加起来。给出$x_i=h_i(y)$代表有多个反函数，原PDF为$f_X(x)$，$y=g(x)$,则

$$f_Y(y) = \sum_{i=1}^n f_X(x_i)\left|\frac{\mathrm{d}x_i}{y}\right|$$

2 二维联合PDF的变量替换

设$X_1$, $X_2$是连续随机变量，联合PDF是$f(x_1,x_2)$，设映射$Y_1=g_1(X_1,X_2)$, $Y_2=g_2(X_1,X_2)$，且满足下列条件

1. 可以解出反函数$x_1=h_1(y_1,y_2)$, $x_2=h_2(y_1,y_2)$
2. $g_1$, $g_2$在所有点$(x_1,x_2)$上都有连续偏导数

那么

$$f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)=f_{X_1,X_2}(h_1(y_1,y_2),h_2(x_1,x_2))|J|$$

其中Jacobian行列式定义为

$$J= \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \frac{\partial x_1}{\partial y_2}\\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} & \frac{\partial x_2}{\partial y_2} \end{vmatrix}$$

3 n维联合PDF的变量替换

设$X_1, X_2,\dots, X_n$是连续随机变量，联合PDF是$f(x_1,x_2,\dots, x_n)$，设映射

$$\begin{cases} Y_1=g_1(X_1,\dots,X_n)\\ \vdots \\ Y_n=g_n(X_1,\dots, X_n) \end{cases}$$

且满足以下条件

1. 可以解出反函数

   $$\begin{cases} x_1=h_1(y_1,\dots,y_n)\\ \vdots\\ x_n=h_n(y_1,\dots,y_n) \end{cases}$$

2. $g_1,g_2,\dots,g_n$在所有点$(x_1,\dots,x_n)$上都有连续偏导数。

那么

$$f_{Y_1\dots Y_n}(y_1,\dots,y_n)=f_{X_1,\dots X_n}(h_1,\dots,h_n)|J|$$

其中Jacobian行列式定义为

$$J= \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n}\\ \vdots &\ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} & \cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}$$