06：Poisson过程

Poisson过程

1 回顾计数过程

计数过程将记录一段时间$[0,t)$内出现的事件的次数，计数过程表示为$\{N(t), t\geq 0\}$，且满足以下性质

1. $N(t)\geq 0$
2. $N(t)\in Z_+$
3. $\forall s,t>0, s<t$, 有$N(s)<N(t)$
4. $\forall s,t>0, s<t$, $N(t)-N(s)$表示时间间隔$[s,t)$内事件发生的次数

如果在任意不重叠的时间间隔内事件发生的次数是独立的，例如在$[a,b],[b,c]$里，$N(c)-N(b)$与$N(b)-N(a)$独立，那么计数过程称为独立增量计数过程。

如果计数过程在时间间隔$[t,t+s)$内出现事件次数只与时间差$s$有关，而与起点没有关系，那么计数过程称为平稳增量计数过程。

2 Poisson过程

2.1 定义

如果计数过程满足以下条件

1. $N(0)=0$
2. 是独立增量计数过程, 即$N(t_1)$, $N(t_2)-N(t_1)$, …, $N(t_n)-N(t_{n-1})$独立。
3. 是平稳增量计数过程，即$P[N(s+t)-N(t)=n]=P[N(s)=n]$.
4. 满足$P[N(t+h)-N(t)=1]=\lambda h+o(h)$, $P[N(t+h)-N(t)\geq 2]=o(h)$，即无穷小时间内发生一次事件概率为$\lambda$，而发生两次以上事件概率为无穷小。

那么这个计数过程就是Poisson过程

由一系列推导可得到，Poisson过程的概率密度分布

$$P\{N(t)=k\}=\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}\quad k\in N$$

即服从参数为$\lambda t$的Poisson分布。

Poisson过程是一独立增量，平稳增量的计数过程，是连续时间Markov链

2.2 Poisson过程相邻事件发生的时间间隔

我们记$S_n$为第n个事件发生的时刻，那么$X_n=S_n-S_{n-1}$表示第$n-1$个事件与地n个事件发生的时间间隔。

定理：Poisson过程事件发生的时间间隔$X_n$是IID的随机变量，都服从参数为$\lambda$的指数分布。反之，如果$X_n$为IID的随机变量，都服从参数为$\lambda$的指数分布，那么这个随机过程是Poisson过程。

我们有$X_n$的PDF为

$$f_{X_n}(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$

均值为$E[X_n]=\frac{1}{\lambda}$

同时，对于第n个事件发生的时刻$S_n$，其PDF为

$$f_{S_n}(t)=\frac{\lambda(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}\quad t\geq 0$$

3 非齐次Poisson过程

3.1 定义

对于一个计数过程$\{N(t), t\geq 0\}$，如果它满足以下条件

1. $N(0)=0$
2. 独立增量
3. 满足$P[N(t+h)-N(t)=1]=\lambda(t) h+o(h)$, $P[N(t+h)-N(t)\geq 2]=o(h)$

就是非齐次Poisson过程，此时$\lambda(t)$不再是其次过程时的常数，而是与$t$相关的函数。$\lambda(t)$又称为强度函数。

4 复合Poisson过程

设$\{Y(i), i\geq 1\}$是某个IID的离散随机过程，$\{N(t), t\geq 0\}$为Poisson过程，且$\{N(t), t\geq 0\}$与$\{Y(i), i\geq 1\}$独立，记

$$X(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y(i)$$

称$\{X(t), t\geq 0\}$为复合Poisson过程。

4.1 数字特征

（1）复合Poisson过程的均值

$$E[X(t)]=(\lambda t)E[Y(i)]$$

（2）复合Poisson过程的方差

$$D[X(t)]=(\lambda t)E[Y^2(i)]$$