附件2：矩母函数(母函数)

1 定义

原英文是Moment Generating Function，直译叫做矩生成函数。

对于离散随机变量，Moment Genertating Function定义为

$$\phi(t) = E[e^{tX}]=\sum_x e^{tx}p(x)$$

对于连续随机变量，Moment Generating Function定义为

$$\int_{-\infty}^\infty e^{tx}f(x)dx$$

我们称其为Moment Generating Function是因为随机变量$X$的所有中心矩都可以通过对$\phi(t)$连续的求导得到，例如

$$\phi'(t) = E\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(e^{tX})\right]=E[Xe^{tX}]$$

所以

$$\phi'(0) = E[X]$$

类似的

$$\phi''(t) = E[X^2e^{tX}]$$

所以

$$\phi''(0)=E[X^2]$$

总的来说，$\phi(t)$的n阶导可以生成$X$的n阶中心矩。

$$\phi^n(0)=E[X^n]$$