01 信号与系统的基础

1 信号

信号其实广泛指代现实世界中的各种物理现象，例如，人说话的声音是一种信号，它在不同时间有不同的音量大小。股票价格是一种信号，在不同时间股票的价格不同。当然，也有与时间没有关系的信号，例如一张静态的图片，图片上像素点的亮度值与所处图片的位置有关。

所以，信号总是一种在变换的值，可能随着时间变化（声音，股票），可能随着空间变化（图片）。它可能还随着其它因素变化，但在这门课中，我们仅考虑随时间变化的信号。

上述的例子也出现了两种截然不同的信号，时间连续和时间离散的。

人的声音是时间连续的信号，因为在连续的时间中，人类可以连续的发出声音，声音大小的值可以在1秒，1.1秒，1.11秒。。。等等无限细分的时间中存在。我们将这样的信号用$x(t)$表示。

股票则是时间离散的信号，因为一般股票的价格实际上是每三秒更新一次，那么我们如果从0时刻开始记录价格，我们只能得到0，3，6，9。。。等等时刻的股票价格，0到3之间的价格是没有定义的。这样时间离散的信号我们用$x[n]$表示。

2 信号的能量与功率

从上述例子中，我们可以看到信号与一些物理过程有直接联系，如果以声音为例子，人发出声音实际上就是一个做功的过程，存在能量的输出以及功率。我们以这种例子为契机，对任何信号都采用类似的能量和功率术语来描述其特性。虽然股票价格这种信号的能量和功率可能不具备真正物理意义，但在应用中仍然是有用的。

现在我们从电路中出发，电阻消耗的功率是

$$p(t) = v(t)i(t) = \frac{1}{R}v^2(t)$$

这里假设电压电流是随时间连续变化的信号。那么在整个电路运行中，消耗的能量就是

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{R}v^2(t)dt$$

在工程上，以及本门课中，我们都考虑其在$1\Omega$电阻上的能量消耗，所以我们定义信号的能量是

$$E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2dt$$

这里$|\cdot|$是考虑信号可能存在复数的情况进行取模。

离散的情况下积分就不适用了，我们利用求和来计算能量

$$E = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2$$

除了能量外，还有信号的功率，在这里我们考虑信号的平均功率。

$$P=\lim_{T\rightarrow \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T|x(t)|^2\mathrm{d}t$$

在这个式子中，我们先平均了时间段$[-T, T]$内的能量，即时间段的平均功率，然后取极限来计算无穷区间的平均功率。

离散的情况下

$$P=\lim_{N\rightarrow \infty}\frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{+N}|x[n]|^2$$

一个有趣的现象是，功率如果是一个大于0的数，那么$\lim\limits_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^T|x(t)|^2\mathrm{d}t$必定是无穷大的。这是因为$T\rightarrow \infty$时，分母无穷大，那么仅当分子与分母同阶，极限才不为0。当$\lim\limits_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^T|x(t)|^2\mathrm{d}t$为一个常数的时候，平均功率为0。

我们将能量$0<E<\infty$的信号称作能量信号，将功率$0<P<\infty$的信号称作功率信号。从上述讨论中不难发现，能量信号功率必为0，功率信号能量必无穷。