矩阵论02-4：向量范数 1 向量范数 现在对一般定义的范数进行推广，使其可以被自定义。 定义：设V是数域F上的线性空间，如果对于V中任意一个向量x，都有一个实数∣∣x∣∣||x||∣∣x∣∣与之对应，且满足： 正定：∣x∣≥0|x|\geq 0∣x∣≥0，仅当x=0x=0x=0时∣∣x∣∣=0||x||=0∣∣x∣∣=0 齐次：∣∣kx∣∣=∣k∣⋅∣∣x∣∣||kx|| = |k|\cd

矩阵论02-6：向量范数和矩阵范数的相容性 1 定义 矩阵和矩阵之间乘法对于范数来说要满足相容性，矩阵和向量同样是可以相乘的，这就引出了矩阵和向量的相容性。 设∣∣⋅∣∣β||\cdot||_\beta∣∣⋅∣∣β​是Cn×nC^{n\times n}Cn×n(或Rn×nR^{n\times n}Rn×n)上的矩阵范数，∣∣⋅∣∣α||\cdot||_\alpha∣∣⋅∣∣α​是CnC^nCn

04：特殊矩阵 1 单纯矩阵 1.1 方阵的特征值与特征向量 定义：设A∈Fn×nA\in F^{n\times n}A∈Fn×n，如果能找到λ∈F\lambda\in Fλ∈F，且∃x≠0\exists x\neq 0∃x=0，使得以下等式 Ax=λxAx = \lambda x Ax=λx 成立，那么λ\lambdaλ就是矩阵的特征值，xxx就是数域这个特征值的特征向量。此定义式就代表

矩阵论02-3：正交子空间 1 子空间正交 向量与空间正交：给出W是欧式(酉)空间V的子空间，取V中一个向量x∈Vx\in Vx∈V，如果∀y∈W\forall y\in W∀y∈W，总有(x,y)=0(x,y)=0(x,y)=0，则称向量x与子空间w正交，记作x⊥Wx\perp Wx⊥W. 空间与空间正交：给出W1W_1W1​, W2W_2W2​是V的子空间，如果∀x∈W1\forall x

矩阵论02-2：标准正交基与向量的正交化 1 向量的度量 定义向量的模(范数)：设V是酉(欧式)空间，x∈Vx\in Vx∈V，称∣∣x∣∣=(x,x)||x|| = \sqrt{(x,x)}∣∣x∣∣=(x,x)​为向量的模(范数)。 单位向量：如果∣∣x∣∣=1||x|| = 1∣∣x∣∣=1，则称x为单位向量。 1.1 重要的等式/不等式 ∣∣kx∣∣=∣k∣∣∣x∣∣||kx||

矩阵论02-5：矩阵范数 1 定义 矩阵范数：设Fn×nF^{n\times n}Fn×n是数域FFF上所有n阶方阵全体构成的线性空间。则∣∣⋅∣∣:Fn×n→R||\cdot||: F^{n\times n} \rightarrow R∣∣⋅∣∣:Fn×n→R称为矩阵范数。范数对于任意矩阵A,B∈Fn×nA,B\in F^{n\times n}A,B∈Fn×n满足下列性质： 正定性∣∣A∣

授课信息 课程名称：矩阵论开课院系：哈尔滨工程大学，研究生院开课时间：2023年秋季，硕士一年级上学期授课教师：柴艳有，林锰 参考教材：线性空间与矩阵论(林锰，吴红梅) 参考资料：Lecture notes and slides

07: 矩阵函数 1 矩阵序列 1.1 序列和收敛的定义 定义：对于一个矩阵A，我们将其内部的元素用数列aij(k)a_{ij}(k)aij​(k)填进去，那么整个矩阵就是和k相关的，当k取不同值的时候，矩阵也是不同的，矩阵A成为了以k为索引的矩阵序列AkA_kAk​ Ak=[a11(k)⋯a1n(k)⋮⋱⋮an1(k)⋯ann(k)]A_k = \begin{bmatrix} a_{11

矩阵论01：线性空间 1 集合 定义：A={a,b,c,d,e}A = \{a,b,c,d,e\}A={a,b,c,d,e}，其中大写字母A表示集合，小写字母a-e表示集合中的元素，如果集合里面没有任何元素，集合被称为空集ϕ\phiϕ。 常用的特殊集合如下： N Z Q R C 自然数 整数 有理数 实数 复数 1.1 集合的关系 定义A=BA=BA=B：表示两个集合中的

矩阵论03：线性映射与线性变换 1 线性映射的概念和性质 线性映射定义：设V1V_1V1​, V2V_2V2​是数域F上的两个线性空间，T:V1→V2T: V_1\rightarrow V_2T:V1​→V2​为V1V_1V1​到V2V_2V2​的映射，如果T满足 ∀x,y∈V1\forall x,y\in V_1∀x,y∈V1​，有T(x+y)=T(x)+T(y)T(x+y) = T(x)